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Numerische Lösungsverfahren für gekoppelte Populationsbilanzsysteme zur dynamischen Simulation multivariater Feststoffprozesse am Beispiel der formselektiven Kristallisation

Institute:

Christian-Albrechts-Universität, Kiel; Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften
Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin
Institut für Mathematik, TU Hamburg-Harburg
Institut für Verfahrenstechnik, Lehrstuhl für Systemverfahrenstechnik, OvGU Magdeburg

Projektleiter:

Prof. Dr. Wolfgang Hackbusch, MPI Leipzig
Prof. Dr. Volker John, WIAS Berlin
Prof. Dr. Sabine Le Borne, TU Hamburg-Harburg
Prof. Dr.-Ing. Kai Sundmacher, OvGU Magdeburg

Bearbeiter:

M. Sc. V. Wiedmeyer, OvGU Magdeburg
M. Sc. Lusine Shahmuradyan, TU Hamurg-Harburg
Dipl. Math. M. Soumaya, OvGU Magdeburg

 

Projektziel

Feststoffprozesse in der Verfahrenstechnik lassen sich durch Populationsbilanzsysteme beschreiben. Hierbei handelt es sich um ein gekoppeltes System von partiellen Differentialgleichungen zur Charakterisierung der kontinuierlichen Phase, sowie einer Populationsbilanzgleichung zur Beschreibung der Feststoffphase. Die Lösung dieser Populationsbilanzgleichung, die Partikelverteilungsdichte f(t,r,x), beschreibt die Partikelverteilung zum Zeitpunkt t in den Ortskoordinaten r und in einer bzw. mehreren Eigenschaftskoordinaten x.

Ziel des Projektes ist der Vergleich und die Weiterentwicklung von numerischen Verfahren zur Lösung von Populationsbilanzsystemen. Dies soll am Beispiel der formselektiven Kristallisation von ausgewählten Modellsubstanzen, die sich über eine bzw. mehrere Eigenschaftskoordinaten beschreiben lassen, geschehen. Weiterhin sollen im Rahmen dieses Projektes optimale statistisch geplante wachstums- bzw. agglomerationsdominierte Benchmarkexperimente durchgeführt werden. Diese dienen sowohl zur Bestimmung von kinetischen Parametern wie Nukleations- und Wachstumsraten oder Agglomerationskernen, als auch zur Abschätzung der numerischen Fehler der zur Simulation verwendeten Lösungsverfahren. Abschließend sollen die entwickelten Methoden, sowie die ermittelten Prozesskinetiken zur Auslegung und Optimierung eines Gesamtprozesses zur kontinuierlichen und formselektiven Kristallisation verwendet werden.

Arbeitsprogramm

In dem Forschungsvorhaben soll das dynamische Verhalten eines orts- und eigenschaftsverteilten, vernetzten Kristallisationsprozesses modelliert, simuliert und letztlich optimiert werden. Hierzu wird exemplarisch ein kontinuierlich betriebener Umlauf-Kühlungskristaller zur selektiven Erzeugung von facettierten Kristallen betrachtet. Zur Auslegung, Simulation und Optimierung des Prozesses werden zuverlässige Prozesskinetiken und –modelle, sowie geeignete numerische Verfahren zur prädiktiven Simulation benötigt, welche im Rahmen des Projektes identifiziert werden sollen.

Zur Ermittlung der Kinetiken der dominanten populationsdynamischen Phänomene (Wachstum, Keimbildung, Agglomeration), sollen zunächst separate Versuchsanlagen experimentell untersucht und populationsdynamisch modelliert werden. Zur effizienten Bestimmung der Kristallisationskinetiken werden Methoden zur optimalen statistischen Versuchsplanung verwendet. Dies soll zunächst für den Fall von Kristallen mit einer Eigenschaftskoordinate geschehen. Im weiteren Verlauf des Projektes ist vorgesehen, ebenfalls Kristallsysteme mit zwei bzw. drei Eigenschaftskoordinaten zu untersuchen.

Zur Überwachung der Prozesse, sowie zur Generierung von Messwerten, wird ein Durchflussmikroskop verwendet. Die notwendigen Algorithmen zur Bildverarbeitung und –auswertung werden im Rahmen des Projektes entwickelt.  Dies gilt insbesondere im Hinblick auf die Charakterisierung von Kristallagglomeraten und Kristallen mit drei oder mehr Eigenschaftskoordinaten.

Neben der Ermittlung der Prozesskinetiken stellen die durchgeführten Experimente Benchmarkprobleme für die Projektpartner dar, die zur Überprüfung der untersuchten numerischen Lösungsverfahren herangezogen werden können. Mit Hilfe der ermittelten Kristallisationskinetiken, sowie den entwickelten numerischen Verfahren, soll abschließend ein neuer Prozess zur kontinuierlichen und formselektiven Kristallisation ausgelegt und optimiert sowie experimentell realisiert werden.

Um Populationsbilanzsysteme effizient zu simulieren, müssen (u.a.) die auftretenden Quellterme, und hierbei insbesondere die in Form von Faltungsintegralen auftretenden Aggregationsterme, effizient ausgewertet werden. Die Auswertung dieser Integraloperatoren ist numerisch aufwendig und dominiert häufig die gesamten Simulationskosten.

Anfangs werden univariate Populationsbilanzsysteme betrachtet. Ein neu entwickelter Ansatz reduziert den hierbei ursprünglich quadratischen Aufwand auf einen fast optimalen Aufwand der Ordnung NlogN, wobei N die Problemgröße bezeichnet. Dieser neue Ansatz basiert auf einer separablen Darstellung (oder auch Approximation) des Aggregationskernes sowie einer schnellen Fouriertransformation. Die Approximation der Dichtefunktion erfolgt zunächst durch stückweise konstante Funktionen auf einem äquidistanten Gitter. Später werden auch Ansatzfunktionen höherer Ordnung und lokal verfeinerte Gitter untersucht.

Die entwickelten und implementierten numerischen Methoden werden an Benchmarkproblemen getestet und bewertet. Insbesondere wird mit den experimentellen Ergebnissen der AG Sundmacher verglichen. Der erfolgreichste Ansatz wird dann auf bi- und multivariate Fragestellungen erweitert. Zudem wird es eine Schnittstelle zu der Softwarebibiothek MooNMD der AG John geben, so dass gekoppelte Populationsbilanzsysteme mit Wachstum und Aggregation simuliert werden können.

Beiträge der an Teilprojekt C2 beteiligten Arbeitsgruppen

AG Hackbusch, Universität Kiel / AG LeBorne, TU Hamburg-Harburg

  • Implementierung eines neuen, effizienten Ansatzes zur Auswertung von Aggregationsintegralen für stückweise konstante Testfunktionen auf gleichmäßigen Gittern
  • Systematischer Vergleich existierender Methoden mit dem neuen Ansatz
  • Erweiterung auf lokal verfeinerte Gitter
  • Erweiterung auf Ansatzfunktionen höherer Ordnung, Kriterien zur Wahl der Ordnung
  • Vergleich der numerischen Ergebnisse mit experimentellen Daten der AG Sundmacher
  • Schnittstelle zur Softwarebibliothek der AG John
  • Erweiterung des erfolgreichsten Ansatzes auf multivariate Probleme

AG John, WIAS Berlin

  • Implementierung und systematische Bewertung von numerischen Methoden für konvektionsdominierte Differentialoperatoren, auf Basis von Experimenten der AG Sundmacher
  • Direkte Diskretisierungen (finite Elemente, finite Differenzen)
  • Momentenmethoden (QMOM, DQMOM)
  • Operator-Splitting Methoden
  • Pivot Methoden
  • Wachstums- und aggregationsdominierte Prozesse (Schnittstellen zu Programmbibliotheken der AGs Le Borne and Hackbusch)
  • Anfangs univariate und gegen Ende der ersten Förderungsperiode bivariate Populationsbilanzsysteme
  • Entwicklungen von hybrid Diskretisierungen (finite Elemente für äußere und finite Differenzen für innere Koordinaten)
  • Entwicklung eines Interfaces im Cape-OPEN Standard

AG Sundmacher, OvGU Magdeburg

  • Aufbau und Betrieb von Versuchsanlagen für Benchmark-Experimente
  • Charakterisierung der experimentell erzeugten Produktpartikel
  • Bestimmung von Kinetiken von Wachstum, Agglomeration und Bruch der Kristalle
  • Optimale statistische Planung der Experimente
  • Effizientes Schätzen der Kernels und kinetischen Parameter
  • Populationsdynamische Modellierung der Benchmark-Experimente
  • Entwicklung eines optimalen Prozesses für die kontinuierliche formselektive Kristallisation

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